談談二次函式在高中階段的應用

二次函式在高中階段的應用如下文

一、進一步深入理解函式概念

國中階段已經講述了函式的定義，進入高中後在學習集合的基礎上又學習了對映，接著重新學習函式概念，主要是用對映觀點來闡明函式，這時就可以用學生已經有一定了解的函式，特別是二次函式為例來加以更深認識函式的概念。二次函式是從一個集合a(定義域)到集合b(值域)上的對映ƒ:a→b，使得集合b中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合a的元素x對應，記為ƒ(x)= ax2+ bx+c(a≠0)這裡ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素x在值域中的象，從而使學生對函式的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函式值的記號後，可以讓學生進一步處理如下問題：

型別i：已知ƒ(x)= 2x2+x+2，求ƒ(x+1)

這裡不能把ƒ(x+1)理解為x=x+1時的函式值，只能理解為自變數為x+1的函式值。

型別ⅱ：設ƒ(x+1)=x2-4x+1,求ƒ(x)

這個問題理解為，已知對應法則ƒ下，定義域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定義域中元素x的象，其本質是求對應法則。

一般有兩種方法：

(1)把所給表示式表示成x+1的多項式。

ƒ(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6，再用x代x+1得ƒ(x)=x2-6x+6

(2) 變數代換：它的適應性強，對一般函式都可適用。

令t=x+1，則x=t-1 ∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6從而ƒ(x)= x2-6x+6

二、二次函式的單調性，最值與影象。

在高中階階段學習單調性時，必須讓學生對二次函式y=ax2+bx+c在區間(-∞，-b2a]及[-b2a，+∞) 上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函式影象的直觀性，給學生配以適當的練習，使學生逐步自覺地利用影象學習二次函式有關的一些函式單調性。

型別ⅲ：畫出下列函式的影象，並通過影象研究其單調性。

(1)y=x2+2|x-1|-1

(2)y=|x2-1|

(3)= x2+2|x|-1

這裡要使學生注意這些函式與二次函式的差異和聯絡。掌握把含有絕對值記號的函式用分段函式去表示，然後畫出其影象。

型別ⅳ設ƒ(x)=x2-2x-1在區間[t,t+1]上的最小值是g(t)。

求：g(t)並畫出 y=g(t)的影象

解：ƒ(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2，在x=1時取最小值-2

當1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=-2

當t>1時，g(t)=ƒ(t)=t2-2t-1

當t<0時，g(t)=ƒ(t+1)=t2-2

t2-2, (t<0)

g(t)= -2，(0≤t≤1)

t2-2t-1, (t>1)

首先要使學生弄清楚題意，一般地，一個二次函式在實數集合r上或是隻有最小值或是隻有最大值，但當定義域發生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學生補充一些練習。

如：y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1)，求該函式的值域。

三、二次函式的知識，可以準確反映學生的數學思維：

型別ⅴ：設二次函式ƒ(x)=ax2+bx+c(a>0)方程ƒ(x)-x=0的兩個根x1，x2滿足0

(ⅰ)當x∈(0,x1)時，證明x<ƒ(x)

(ⅱ)設函式ƒ(x)的影象關於直線x=x0對稱，證明x0< x2。

解題思路：

本題要證明的是x<ƒ(x)，ƒ(x)

(ⅰ)先證明x<ƒ(x)，令ƒ(x)=ƒ(x)-x，因為x1,x2是方程ƒ(x)-x=0的根，ƒ(x)=ax2+bx+c，所以能ƒ(x)=a(x-x1)(x-x2)

因為00,又a>0,因此ƒ(x) >0,即ƒ(x)-x>0.至此,證得x<ƒ(x)

根據韋達定理,有 x1x2=ca ∵ 0ƒ(0)，所以當x∈(0,x1)時ƒ(x)<ƒ(x1)=x1，

即x<ƒ(x)

(ⅱ) ∵ƒ(x)=ax2+bx+c=a(x+-b/2a)2+(c-),(a>0)

函式ƒ(x)的影象的對稱軸為直線x=- b/2a,且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=-b/2a，因為x1,x2是二次方程ax2+(b-1)x+c=0的根，根據違達定理得，x1+x2=-b-1a，∵x2-1a<0，

∴x0=-b2a=12(x1+x2-1a)

二次函式，它有豐富的內涵和外延。作為最基本的冪函式，可以以它為代表來研究函式的性質，可以建立起函式、方程、不等式之間的聯絡，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數學問題，考查學生的數學基礎知識和綜合數學素質，特別是能從解答的深入程度中，區分出學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力。

上文是二次函式在高中階段的應用