高一數學函式知識點歸納
1、函式：設A、B為非空集合，如果按照某個特定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函式，寫作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自變數，x的取值範圍A叫做函式的定義域，與x相對應的y的值叫做函式值，函式值的集合B={f(x)∣x∈A }叫做函式的值域。
2、函式定義域的解題思路：
⑴若x處於分母位置，則分母x不能為0。
⑵偶次方根的被開方數不小於0。
⑶對數式的真數必須大於0。
⑷指數對數式的底，不得為1，且必須大於0。
⑸指數為0時，底數不得為0。
⑹如果函式是由一些基本函式通過四則運算結合而成的，那麼，它的定義域是各個部分都有意義的x值組成的集合。
⑺實際問題中的函式的定義域還要保證實際問題有意義。
3、相同函式
⑴表示式相同：與表示自變數和函式值的字母無關。
⑵定義域一致，對應法則一致。
4、函式值域的求法
⑴觀察法：適用於初等函式及一些簡單的由初等函式通過四則運算得到的函式。
⑵影象法：適用於易於畫出函式影象的函式已經分段函式。
⑶配方法：主要用於二次函式，配方成y=(x-a)2+b的形式。
⑷代換法：主要用於由已知值域的函式推測未知函式的值域。
5、函式影象的變換
⑴平移變換：在x軸上的變換在x上就行加減，在y軸上的變換在y上進行加減。
⑵伸縮變換：在x前加上係數。
⑶對稱變換：高中階段不作要求。
6、對映：設A、B是兩個非空集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對於A中的任意儀的元素x，在集合B中都有唯一的確定的y與之對應，那麼就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的對映。
⑴集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，並且象是唯一的。
⑵集合A中的不同元素，在集合B中對應的象可以是同一個。
⑶不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。
7、分段函式
⑴在定義域的不同部分上有不同的解析式表示式。
⑵各部分自變數和函式值的取值範圍不同。
⑶分段函式的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的並集。
8、複合函式：如果(u∈M)，u=g(x) (x∈A),則，y=f[g(x)]=F(x) (x∈A)，稱為f、g的複合函式。
高一數學必修五知識點總結
空間兩條直線只有三種位置關係：平行、相交、異面
1、按是否共面可分為兩類：
(1)共面：平行、相交
(2)異面：
異面直線的定義：不同在任何一個平面內的兩條直線或既不平行也不相交。
異面直線判定定理：用平面內一點與平面外一點的直線，與平面內不經過該點的直線是異面直線。
兩異面直線所成的角：範圍為(0°，90°)
esp.空間向量法
兩異面直線間距離:公垂線段(有且只有一條)
esp.空間向量法
2、若從有無公共點的角度看可分為兩類：
(1)有且僅有一個公共點——相交直線;(2)沒有公共點——平行或異面
高一數學直線和平面的位置關係
直線和平面只有三種位置關係：在平面內、與平面相交、與平面平行
①直線在平面內——有無數個公共點
②直線和平面相交——有且只有一個公共點
直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個平面內的射影所成的銳角。
空間向量法(找平面的法向量)
規定：
a、直線與平面垂直時，所成的角為直角，
b、直線與平面平行或在平面內，所成的角為0°角
由此得直線和平面所成角的取值範圍為[0°，90°]
最小角定理:斜線與平面所成的角是斜線與該平面內任一條直線所成角中的最小角
三垂線定理及逆定理:如果平面內的一條直線,與這個平面的一條斜線的射影垂直，那麼它也與這條斜線垂直
直線和平面垂直
直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面的垂線，平面叫做直線a的垂面。
直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這條直線垂直於這個平面。
直線與平面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直於一個平面，那麼這兩條直線平行。
③直線和平面平行——沒有公共點
直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點，那麼我們就說這條直線和這個平面平行。
直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那麼這條直線和這個平面平行。
直線和平面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行。
(1)有且僅有一個公共點——相交直線;(2)沒有公共點——平行或異面
（1）兩個平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點
（2）兩個平面的位置關係：
兩個平面平行——沒有公共點；兩個平面相交——有一條公共直線。
a、平行
兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行於另一個平面，那麼這兩個平面平行。
兩個平面平行的性質定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那麼交線平行。
b、相交
二面角
（1）半平面：平面內的'一條直線把這個平面分成兩個部分，其中每一個部分叫做半平面。
（2）二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值範圍為[0°，180°]
（3）二面角的稜：這一條直線叫做二面角的稜。
（4）二面角的面：這兩個半平面叫做二面角的面。
（5）二面角的平面角：以二面角的稜上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直於稜的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。
（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
兩平面垂直
兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。記為⊥
兩平面垂直的判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那麼這兩個平面互相垂直
兩個平面垂直的性質定理：如果兩個平面互相垂直，那麼在一個平面內垂直於交線的直線垂直於另一個平面。
二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法（注意求出的角與所需要求的角之間的等補關係）
稜錐
稜錐的定義：有一個面是多邊形，其餘各面都是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的幾何體叫做稜錐。
稜錐的性質：
（1）側稜交於一點。側面都是三角形
（2）平行於底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等於截得的稜錐的高與遠稜錐高的比的平方
正稜錐
正稜錐的定義：如果一個稜錐底面是正多邊形，並且頂點在底面內的射影是底面的中心，這樣的稜錐叫做正稜錐。
正稜錐的性質：
（1）各側稜交於一點且相等，各側面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正稜錐的斜高。
（3）多個特殊的直角三角形
a、相鄰兩側稜互相垂直的正三稜錐，由三垂線定理可得頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。
b、四面體中有三對異面直線，若有兩對互相垂直，則可得第三對也互相垂直。且頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。
集合
集合具有某種特定性質的事物的總體。這裡的“事物”可以是人，物品，也可以是數學元素。例如：
1、分散的人或事物聚集到一起；使聚集：緊急～。
2、數學名詞。一組具有某種共同性質的數學元素：有理數的～。
3、口號等等。集合在數學概念中有好多概念，如集合論：集合是現代數學的基本概念，專門研究集合的理論叫做集合論。康託（Cantor，G、F、P、，1845年—1918年，德國數學家先驅，是集合論的創始者，目前集合論的基本思想已經滲透到現代數學的所有領域。
集合，在數學上是一個基礎概念。什麼叫基礎概念？基礎概念是不能用其他概念加以定義的概念。集合的概念，可通過直觀、公理的方法來下“定義”。集合
集合是把人們的直觀的或思維中的某些確定的能夠區分的物件匯合在一起，使之成為一個整體（或稱為單體），這一整體就是集合。組成一集合的那些物件稱為這一集合的元素（或簡稱為元）。
集合與集合之間的關係
某些指定的物件集在一起就成為一個集合集合符號，含有有限個元素叫有限集，含有無限個元素叫無限集，空集是不含任何元素的集，記做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有傳遞性。
指數函式
(1)指數函式的定義域為所有實數的集合，這裡的前提是a大於0，對於a不大於0的情況，則必然使得函式的定義域不存在連續的區間，因此我們不予考慮。
(2)指數函式的值域為大於0的實數集合。
(3)函式圖形都是下凹的。
(4)a大於1，則指數函式單調遞增;a小於1大於0，則為單調遞減的。
(5)可以看到一個顯然的規律，就是當a從0趨向於無窮大的過程中(當然不能等於0)，函式的曲線從分別接近於Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函式的位置，趨向分別接近於Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函式的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。
(6)函式總是在某一個方向上無限趨向於X軸，永不相交。
(7)函式總是通過(0，1)這點。
(8)顯然指數函式。
反比例函式
形如y=k/x(k為常數且k≠0)的函式，叫做反比例函式。
自變數x的取值範圍是不等於0的一切實數。
反比例函式影象性質：
反比例函式的影象為雙曲線。
由於反比例函式屬於奇函式，有f(-x)=-f(x)，影象關於原點對稱。
另外，從反比例函式的解析式可以得出，在反比例函式的影象上任取一點，向兩個座標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。
k分別為正和負(2和-2)時的函式影象。
當K>0時，反比例函式影象經過一，三象限，是減函式
當K<0時，反比例函式影象經過二，四象限，是增函式
反比例函式影象只能無限趨向於座標軸，無法和座標軸相交。
知識點：
1.過反比例函式圖象上任意一點作兩座標軸的垂線段，這兩條垂線段與座標軸圍成的矩形的面積為|k|。
2.對於雙曲線y=k/x，若在分母上加減任意一個實數(即y=k/(x±m)m為常數)，就相當於將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。(加一個數時向左平移，減一個數時向右平移)
函式及其表示
知識點詳解文件包含函式的概念、對映、函式關係的判斷原則、函式區間、函式的三要素、函式的定義域、求具體或抽象數值的函式值、求函式值域、函式的表示方法等
1. 函式與對映的區別：
2. 求函式定義域
常見的用解析式表示的函式f(x)的定義域可以歸納如下：
①當f(x)為整式時，函式的定義域為R。
②當f(x)為分式時，函式的定義域為使分式分母不為零的實數集合。
③當f(x)為偶次根式時，函式的定義域是使被開方數不小於0的實數集合。
④當f(x)為對數式時，函式的定義域是使真數為正、底數為正且不為1的實數集合。
⑤如果f(x)是由幾個部分的數學式子構成的，那麼函式定義域是使各部分式子都有意義的實數集合，即求各部分有意義的實數集合的交集。
⑥複合函式的定義域是複合的各基本的函式定義域的交集。
⑦對於由實際問題的背景確定的函式，其定義域除上述外，還要受實際問題的制約。
3. 求函式值域
(1)、觀察法：通過對函式定義域、性質的觀察，結合函式的解析式，求得函式的值域;
(2)、配方法;如果一個函式是二次函式或者經過換元可以寫成二次函式的形式，那麼將這個函式的右邊配方，通過自變數的範圍可以求出該函式的值域;
(3)、判別式法：
(4)、數形結合法;通過觀察函式的圖象，運用數形結合的方法得到函式的值域;
(5)、換元法;以新變數代替函式式中的某些量，使函式轉化為以新變數為自變數的函式形式，進而求出值域;
(6)、利用函式的單調性;如果函式在給出的定義域區間上是嚴格單調的，那麼就可以利用端點的函式值來求出值域;
(7)、利用基本不等式：對於一些特殊的分式函式、高於二次的函式可以利用重要不等式求出函式的值域;
(8)、最值法：對於閉區間[a,b]上的連續函式y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,並與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函式的最值,可得到函式y的值域;
(9)、反函式法：如果函式在其定義域記憶體在反函式，那麼求函式的值域可以轉化為求反函式的定義域。
集合與元素
一個東西是集合還是元素並不是絕對的，很多情況下是相對的，集合是由元素組成的集合，元素是組成集合的元素。
例如：你所在的班級是一個集合，是由幾十個和你同齡的同學組成的集合，你相對於這個班級集合來說，是它的一個元素;
而整個學校又是由許許多多個班級組成的集合，你所在的班級只是其中的一分子，是一個元素。
班級相對於你是集合，相對於學校是元素，參照物不同，得到的結論也不同，可見，是集合還是元素，並不是絕對的。
解集合問題的關鍵
解集合問題的關鍵：弄清集合是由哪些元素所構成的，也就是將抽象問題具體化、形象化，將特徵性質描述法表示的集合用列舉法來表示，或用韋恩圖來表示抽象的集合，或用圖形來表示集合;比如用數軸來表示集合，或是集合的元素為有序實數對時，可用平面直角座標系中的圖形表示相關的集合等。
一、集合有關概念
1、集合的含義：某些指定的物件集在一起就成為一個集合，其中每一個物件叫元素。
2、集合的中元素的三個特性：
1）元素的確定性；
2）元素的互異性；
3）元素的無序性
說明：
（1）對於一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個物件或者是或者不是這個給定的集合的元素。
（2）任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的物件，相同的物件歸入一個集合時，僅算一個元素。
（3）集合中的元素是平等的，沒有先後順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。
（4）集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。
3、集合的表示：{…}如{我校的籃球隊員}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}
1、用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員}，B={1，2，3，4，5}
2、集合的表示方法：列舉法與描述法。
二、集合間的基本關係
1、“包含”關係—子集
注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。
反之：集合A不包含於集合B，或集合B不包含集合A，記作AB或BA
2、“相等”關係（5≥5，且5≤5，則5=5）
例項：設A={x|x2—1=0}B={—1，1}“元素相同”
結論：對於兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時，集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等於集合B，即：A=B
①任何一個集合是它本身的子集。AíA
②真子集：如果AíB，且A1B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB（或BA）
③如果AíB，BíC，那麼AíC
④如果AíB同時BíA那麼A=B
3。不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ
規定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的運算
1、交集的定義：一般地，由所有屬於A且屬於B的元素所組成的集合，叫做A，B的交集。
記作A∩B（讀作”A交B”），即A∩B={x|x∈A，且x∈B}。
2、並集的定義：一般地，由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合，叫做A，B的並集。記作：A∪B（讀作”A並B”），即A∪B={x|x∈A，或x∈B}。
3、交集與並集的性質：A∩A=A，A∩φ=φ，A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪φ=A，A∪B=B∪A。
1、集合的概念
集合是集合論中的不定義的原始概念，教材中對集合的概念進行了描述性說明：“一般地，把一些能夠確定的不同的物件看成一個整體，就說這個整體是由這些物件的全體構成的集合(或集)”。理解這句話，應該把握4個關鍵詞：物件、確定的、不同的、整體。
物件――即集合中的元素。集合是由它的元素確定的。
整體――集合不是研究某一單一物件的，它關注的是這些物件的全體。
確定的――集合元素的確定性――元素與集合的“從屬”關係。
不同的――集合元素的互異性。
2、有限集、無限集、空集的意義
有限集和無限集是針對非空集合來說的。我們理解起來並不困難。
我們把不含有任何元素的集合叫做空集，記做Φ。理解它時不妨思考一下“0與Φ”及“Φ與{Φ}”的關係。
幾個常用數集N、N_N+、Z、Q、R要記牢。
3、集合的表示方法
(1)列舉法的表示形式比較容易掌握，並不是所有的集合都能用列舉法表示，同學們需要知道能用列舉法表示的三種集合：
①元素不太多的有限集，如{0，1，8}
②元素較多但呈現一定的規律的有限集，如{1，2，3，…，100}
③呈現一定規律的無限集，如{1，2，3，…，n，…}
●注意a與{a}的區別
●注意用列舉法表示集合時，集合元素的“無序性”。
(2)特徵性質描述法的關鍵是把所研究的集合的“特徵性質”找準，然後適當地表示出來就行了。但關鍵點也是難點。學習時多加練習就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y=x2}，{y|y=x2}，{(x，y)|y=x2}是三個不同的集合。
4、集合之間的關係
●注意區分“從屬”關係與“包含”關係
“從屬”關係是元素與集合之間的關係。
“包含”關係是集合與集合之間的關係。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，學會正確使用等符號，會用Venn圖描述集合之間的關係是基本要求。
●注意辨清Φ與{Φ}兩種關係。
知識點1
一、集合有關概念
1、集合的含義：某些指定的物件集在一起就成為一個集合，其中每一個物件叫元素。
2、集合的中元素的三個特性：
1、元素的確定性；
2、元素的互異性；
3、元素的無序性
說明：（1）對於一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個物件或者是或者不是這個給定的集合的元素。
（2）任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的物件，相同的物件歸入一個集合時，僅算一個元素。
（3）集合中的元素是平等的，沒有先後順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。
（4）集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。
3、集合的表示：{…}如{我校的籃球隊員}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}
1、用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員}，B={1，2，3，4，5}
2、集合的表示方法：列舉法與描述法。
注意啊：常用數集及其記法：
非負整數集（即自然數集）記作：N
正整數集N或N+整數集Z有理數集Q實數集R
關於“屬於”的概念
集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬於集合A記作a∈A，相反，a不屬於集合A記作a？A
列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然後用一個大括號括上。
描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些物件是否屬於這個集合的方法。
①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②數學式子描述法：例：不等式x—3>2的解集是{x？R|x—3>2}或{x|x—3>2}
4、集合的分類：
1、有限集含有有限個元素的集合
2、無限集含有無限個元素的集合
3、空集不含任何元素的集合例：{x|x2=—5｝
知識點2
I、定義與定義表示式
一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關係：y=ax^2+bx+c
（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向，a>0時，開口方向向上，a0時，拋物線向上開口；當a0時，拋物線向上開口；當a0），對稱軸在y軸左；
當a與b異號時（即ab0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ=b’2—4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ=b’2—4ac0，方程有兩不等實根，二次函式的圖象與軸有兩個交點，二次函式有兩個零點。
（2）△=0，方程有兩相等實根（二重根），二次函式的圖象與軸有一個交點，二次函式有一個二重零點或二階零點。
（3）△0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，
當h0，k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
當h>0，k0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
當h0時，開口向上，當a0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而減小;當x≥-b/2a時，y隨x的增大而增大.若a0，圖象與x軸交於兩點A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x?-x?|
當△=0.圖象與x軸只有一個交點;
當△0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0;當a0(a2} ,{x| x-3>2}
3) 語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4) Venn圖:
4、集合的分類：
(1) 有限集 含有有限個元素的集合
(2) 無限集 含有無限個元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=-5｝
二、集合間的基本關係
1.“包含”關係—子集
注意： 有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。
反之: 集合A不包含於集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A
2.“相等”關係：A=B (5≥5，且5≤5，則5=5)
例項：設 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同則兩集合相等”
即：① 任何一個集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就說集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A)
③如果 A?B, B?C ,那麼 A?C
④ 如果A?B 同時 B?A 那麼A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ
規定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
? 有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集
三、集合的運算
運算型別 交 集 並 集 補 集
定 義 由所有屬於A且屬於B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作A B(讀作‘A交B’)，即A B={x|x A，且x B｝.
由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的並集.記作：A B(讀作‘A並B’)，即A B ={x|x A，或x B}).
設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬於A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或餘集)
二、函式的有關概念
1.函式的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函式.記作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變數，x的取值範圍A叫做函式的定義域;與x的值相對應的y值叫做函式值，函式值的集合{f(x)| x∈A }叫做函式的值域.
注意：
1.定義域：能使函式式有意義的實數x的集合稱為函式的定義域。
求函式的定義域時列不等式組的主要依據是：
(1)分式的分母不等於零;
(2)偶次方根的被開方數不小於零;
(3)對數式的真數必須大於零;
(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1.
(5)如果函式是由一些基本函式通過四則運算結合而成的.那麼，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.
(6)指數為零底不可以等於零，
(7)實際問題中的函式的定義域還要保證實際問題有意義.
相同函式的判斷方法：①表示式相同(與表示自變數和函式值的字母無關);②定義域一致 (兩點必須同時具備)
2.值域 : 先考慮其定義域
(1)觀察法
(2)配方法
(3)代換法
3. 函式圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角座標系中，以函式 y=f(x) , (x∈A)中的x為橫座標，函式值y為縱座標的點P(x，y)的集合C，叫做函式 y=f(x),(x ∈A)的圖象.C上每一點的座標(x，y)均滿足函式關係y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為座標的點(x，y)，均在C上 .
(2) 畫法
A、 描點法：
B、 圖象變換法
常用變換方法有三種
1) 平移變換
2) 伸縮變換
3) 對稱變換
4.區間的概念
(1)區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間
(2)無窮區間
(3)區間的數軸表示.
5.對映
一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對於集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：A B為從集合A到集合B的一個對映。記作f：A→B
6.分段函式
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表示式的函式。
(2)各部分的自變數的取值情況.
(3)分段函式的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的並集.
補充：複合函式
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 稱為f、g的複合函式。
二.函式的性質
1.函式的單調性(區域性性質)
(1)增函式
設函式y=f(x)的定義域為I，如果對於定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變數x1，x2，當x1
如果對於區間D上的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1f(x2)，那麼就說f(x)在這個區間上是減函式.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.
注意：函式的單調性是函式的區域性性質;
(2) 圖象的特點
如果函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式，那麼說函式y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函式的圖象從左到右是上升的，減函式的圖象從左到右是下降的.
(3).函式單調區間與單調性的判定方法
(A) 定義法：
○1 任取x1，x2∈D，且x1
○2 作差f(x1)-f(x2);
○3 變形(通常是因式分解和配方);
○4 定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);
○5 下結論(指出函式f(x)在給定的區間D上的單調性).
(B)圖象法(從圖象上看升降)
(C)複合函式的單調性
複合函式f[g(x)]的單調性與構成它的函式u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”
注意：函式的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集.
8.函式的奇偶性(整體性質)
(1)偶函式
一般地，對於函式f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那麼f(x)就叫做偶函式.
(2).奇函式
一般地，對於函式f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=—f(x)，那麼f(x)就叫做奇函式.
(3)具有奇偶性的函式的圖象的特徵
偶函式的圖象關於y軸對稱;奇函式的圖象關於原點對稱.
利用定義判斷函式奇偶性的步驟：
○1首先確定函式的定義域，並判斷其是否關於原點對稱;
○2確定f(-x)與f(x)的關係;
○3作出相應結論：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，則f(x)是偶函式;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，則f(x)是奇函式.
(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;
(3)利用定理，或藉助函式的圖象判定 .
9、函式的解析表示式
(1).函式的解析式是函式的一種表示方法，要求兩個變數之間的函式關係時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函式的定義域.
(2)求函式的解析式的主要方法有：
1) 湊配法
2) 待定係數法
3) 換元法
4) 消參法
10.函式最大(小)值(定義見課本p36頁)
○1 利用二次函式的性質(配方法)求函式的最大(小)值
○2 利用圖象求函式的最大(小)值
○3 利用函式單調性的判斷函式的最大(小)值：
如果函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函式y=f(x)在x=b處有最大值f(b);
如果函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函式y=f(x)在x=b處有最小值f(b);
集合的運算
運算型別交 集並 集補 集
定義域 R定義域 R
值域＞0值域＞0
在R上單調遞增在R上單調遞減
非奇非偶函式非奇非偶函式
函式圖象都過定點（0，1）函式圖象都過定點（0，1）
注意：利用函式的單調性，結合圖象還可以看出：
（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；
（2）若 ，則 ； 取遍所有正數當且僅當 ；
（3）對於指數函式 ，總有 ；
二、對數函式
（一）對數
1.對數的概念：
一般地，如果 ，那麼數 叫做以 為底 的對數，記作： （ — 底數， — 真數， — 對數式）
說明：○1 注意底數的限制 ，且 ；
○2 ；
○3 注意對數的書寫格式.
兩個重要對數：
○1 常用對數：以10為底的對數 ；
○2 自然對數：以無理數 為底的對數的對數 .
指數式與對數式的互化
冪值 真數
＝ N ＝ b
底數
指數 對數
（二）對數的運算性質
如果 ，且 ， ， ，那麼：
○1 ＋ ；
○2 － ；
○3 .
注意：換底公式： （ ，且 ； ，且 ； ）.
利用換底公式推導下面的結論：（1） ；（2） .
（3）、重要的公式 ①、負數與零沒有對數； ②、 ， ③、對數恆等式
（二）對數函式
1、對數函式的概念：函式 ，且 叫做對數函式，其中 是自變數，函式的定義域是（0，+∞）.
注意：○1 對數函式的定義與指數函式類似，都是形式定義，注意辨別。如： ， 都不是對數函式，而只能稱其為對數型函式.
○2 對數函式對底數的限制： ，且 .
2、對數函式的性質：
a>102},{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}
③語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}
強調：描述法表示集合應注意集合的代表元素
A={(x,y)|y=x2+3x+2}與B={y|y=x2+3x+2}不同。集合A中是陣列元素(x，y)，集合B中只有元素y。
3、集合的三個特性
(1)無序性
指集合中的元素排列沒有順序，如集合A={1,2}，集合B={2,1}，則集合A=B。
例題：集合A={1,2}，B={a,b}，若A=B，求a、b的值。
解：，A=B
注意：該題有兩組解。
(2)互異性
指集合中的元素不能重複，A={2,2}只能表示為{2}
(3)確定性
集合的確定性是指組成集合的元素的性質必須明確，不允許有模稜兩可、含混不清的情況。
數學期會考試已結束了。從考試的結果看與事前想法基本吻合。考試前讓學生做的一些事情從成績上看都或多或少有了一定的效果。現將考前考後的一些東西總結。
（1）考試的內容：
本次考試主要考查內容為高中數學必修5三角、不等式及數列部分，必修2立體幾何部分
從卷面上看，必修5中的部分佔25%。立體幾何佔75%，，總體偏重最近講的立體幾何。
（2）考試卷面題型分析。
卷面上只有選擇、填空和解答三種題型。
選擇題得分偏低，主要是對於學習過去時間比較長的三角數列不等式忘記的比較多，填空題有得分比較容易的兩題，剩餘兩題難度較大。解答題前四道是立體幾何講的幾個比較重要的知識點的考查，後兩道是三角和數列。
（3）考試成績分析與反思
從考試結果看，平時學習踏實的，數學基礎好些的學生基本上考出較好成績，平時學習不認真，基礎較差的成績都不太理想。針對本次考試結果，反思本人的教學行為更應該做好這幾項工作：
第一、必須每天都紮實在做好備課與輔導工作。努力提高課堂效率，課前將學生定時定量應知應會的東西整理好，在課堂上比較流暢的講解，適當控制好學生的學習行為。
第二、輔導工作要加強，在課後瞭解學生的學情，瞭解他們掌握知識的情況，個別輔導的工作要在課後做好。
第三、自己要獨立思考，哪些東西講，哪些東西不講，哪些先講，哪些後講要根據學情做到心中有數，在適當的時間提出適當的問題。
第四、引導學生學會學習我們所教的學生基礎比較差，不會學習，不會找問題，不會獨立地進行有質量的思考是常見的事。要讓他們首先掌握基本知識點，讓他們逐步學會獨立思考，提出有質量的問題，自己解決一些常見的基本問題，這樣有助於提高學生的成績。
空間幾何體表面積體積公式：
1、圓柱體:表面積:2πRr+2πRh體積:πR2h(R為圓柱體上下底圓半徑,h為圓柱體高)
2、圓錐體:表面積:πR2+πR[(h2+R2)的]體積:πR2h/3(r為圓錐體低圓半徑,h為其高,
3、a-邊長,S=6a2,V=a3
4、長方體a-長,b-寬,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc
5、稜柱S-h-高V=Sh
6、稜錐S-h-高V=Sh/3
7、S1和S2-上、下h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3
8、S1-上底面積,S2-下底面積,S0-中h-高,V=h(S1+S2+4S0)/6
9、圓柱r-底半徑,h-高,C—底面周長S底—底面積,S側—,S表—表面積C=2πrS底=πr2,S側=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h
10、空心圓柱R-外圓半徑,r-內圓半徑h-高V=πh(R^2-r^2)
11、r-底半徑h-高V=πr^2h/3
12、r-上底半徑,R-下底半徑,h-高V=πh(R2+Rr+r2)/313、球r-半徑d-直徑V=4/3πr^3=πd^3/6
14、球缺h-球缺高,r-球半徑,a-球缺底半徑V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3
15、球檯r1和r2-球檯上、下底半徑h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6
16、圓環體R-環體半徑D-環體直徑r-環體截面半徑d-環體截面直徑V=2π2Rr2=π2Dd2/4
17、桶狀體D-桶腹直徑d-桶底直徑h-桶高V=πh(2D2+d2)/12,(母線是圓弧形,圓心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母線是拋物線形)
集合的有關概念
1)集合(集)：某些指定的物件集在一起就成為一個集合(集).其中每一個物件叫元素
注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。
②集合中的元素具有確定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互異性(若a?A，b?A，則a≠b)和無序性({a,b}與{b,a}表示同一個集合)。
③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的物件都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件
2)集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法
3)集合的分類：有限集，無限集，空集。
4)常用數集：N，Z，Q，R，N
子集、交集、並集、補集、空集、全集等概念
1)子集：若對x∈A都有x∈B，則AB(或AB);
2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;記為AB(或，且)
3)交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}
4)並集：A∪B={x|x∈A或x∈B}
5)補集：CUA={x|xA但x∈U}
注意：A，若A≠?，則?A;
若且，則A=B(等集)
集合與元素
掌握有關的術語和符號，特別要注意以下的符號：(1)與、?的區別;(2)與的區別;(3)與的區別。
子集的幾個等價關係
①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;
④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。
交、並集運算的性質
①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A;
③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB;
有限子集的個數：
設集合A的元素個數是n，則A有2n個子集，2n-1個非空子集，2n-2個非空真子集。
練習題：
已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z}，則M,N,P滿足關係
A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM
分析一：從判斷元素的共性與區別入手。
解答一：對於集合M：{x|x=,m∈Z};對於集合N：{x|x=,n∈Z}
對於集合P：{x|x=,p∈Z}，由於3(n-1)+1和3p+1都表示被3除餘1的數，而6m+1表示被6除餘1的數，所以MN=P，故選B。
平面向量
向量：既有大小，又有方向的量.
數量：只有大小，沒有方向的量.
有向線段的三要素：起點、方向、長度.
零向量：長度為的向量.
單位向量：長度等於個單位的向量.
相等向量：長度相等且方向相同的向量
&向量的運算
加法運算
AB+BC=AC，這種計演算法則叫做向量加法的三角形法則。
已知兩個從同一點O出發的兩個向量OA、OB，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O為起點的對角線OC就是向量OA、OB的和，這種計演算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。
對於零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法滿足所有的加法運算定律。
減法運算
與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。
數乘運算
實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa，|λa|=|λ||a|，當λ>0時，λa的方向和a的方向相同，當λ<0時，λa的方向和a的方向相反，當λ=0時，λa=0。
設λ、μ是實數，那麼：(1)(λμ)a=λ(μa)(2)(λμ)a=λaμa(3)λ(a±b)=λa±λb(4)(-λ)a=-(λa)=λ(-a)。
向量的加法運算、減法運算、數乘運算統稱線性運算。
向量的數量積
已知兩個非零向量a、b，那麼|a||b|cosθ叫做a與b的數量積或內積，記作a?b，θ是a與b的夾角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量與任意向量的數量積為0。
a?b的幾何意義：數量積a?b等於a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。
兩個向量的數量積等於它們對應座標的乘積的和。
一、直線與方程
(1)直線的傾斜角
定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時，我們規定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值範圍是0180
(2)直線的斜率
①定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當時，。當時，;當時，不存在。
②過兩點的直線的斜率公式：
注意下面四點：
(1)當時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90
(2)k與P1、P2的順序無關;
(3)以後求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的座標直接求得;
(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的座標先求斜率得到。
(3)直線方程
①點斜式：直線斜率k，且過點
注意：當直線的斜率為0時，k=0，直線的方程是y=y1。當直線的斜率為90時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示.但因l上每一點的橫座標都等於x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b
③兩點式：直線兩點，
④截矩式：其中直線與軸交於點,與軸交於點,即與軸、軸的截距分別為。
⑤一般式：(A，B不全為0)
⑤一般式：(A，B不全為0)
注意：○1各式的適用範圍
○2特殊的方程如：平行於x軸的直線：(b為常數);平行於y軸的直線：(a為常數);
(4)直線系方程：即具有某一共同性質的直線
(一)平行直線系
平行於已知直線(是不全為0的常數)的直線系：(C為常數)
(二)過定點的直線系
(ⅰ)斜率為k的直線系：直線過定點;
(ⅱ)過兩條直線，的交點的直線系方程為(為引數)，其中直線不在直線系中。
(5)兩直線平行與垂直;
注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。
(6)兩條直線的交點
相交：交點座標即方程組的一組解。方程組無解;方程組有無數解與重合
(7)兩點間距離公式：設是平面直角座標系中的兩個點，則
(8)點到直線距離公式：一點到直線的距離
(9)兩平行直線距離公式：在任一直線上任取一點，再轉化為點到直線的距離進行求解。
集合的運算
運算型別交 集並 集補 集
定義域 R定義域 R
值域＞0值域＞0
在R上單調遞增在R上單調遞減
非奇非偶函式非奇非偶函式
函式圖象都過定點（0，1）函式圖象都過定點（0，1）
注意：利用函式的單調性，結合圖象還可以看出：
（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；
（2）若 ，則 ； 取遍所有正數當且僅當 ；
（3）對於指數函式 ，總有 ；
二、對數函式
（一）對數
1.對數的概念：
一般地，如果 ，那麼數 叫做以 為底 的對數，記作： （ — 底數， — 真數， — 對數式）
說明：○1 注意底數的限制 ，且 ；
○2 ；
○3 注意對數的書寫格式.
兩個重要對數：
○1 常用對數：以10為底的對數 ；
○2 自然對數：以無理數 為底的對數的對數 .
指數式與對數式的互化
冪值 真數
＝ N ＝ b
底數
指數 對數
（二）對數的運算性質
如果 ，且 ， ， ，那麼：
○1 ＋ ；
○2 － ；
○3 .
注意：換底公式： （ ，且 ； ，且 ； ）.
利用換底公式推導下面的結論：（1） ；（2） .
（3）、重要的公式 ①、負數與零沒有對數； ②、 ， ③、對數恆等式
（二）對數函式
1、對數函式的概念：函式 ，且 叫做對數函式，其中 是自變數，函式的定義域是（0，+∞）.
注意：○1 對數函式的定義與指數函式類似，都是形式定義，注意辨別。如： ， 都不是對數函式，而只能稱其為對數型函式.
○2 對數函式對底數的限制： ，且 .
2、對數函式的性質：
a>100時，函式的最小值為2.可見定義域對函式的值域或最值的影響.
3、函式的最值在實際問題中的應用
函式的最值的應用主要體現在用函式知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現為“工程造價最低”，“利潤”或“面積(體積)(最小)”等諸多現實問題上，求解時要特別關注實際意義對自變數的制約，以便能正確求得最值.
【(四)、函式的奇偶性】
1、函式的奇偶性的定義：對於函式f(x)，如果對於函式定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那麼函式f(x)就叫做奇函式(或偶函式).
正確理解奇函式和偶函式的定義，要注意兩點：(1)定義域在數軸上關於原點對稱是函式f(x)為奇函式或偶函式的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恆等式.(奇偶性是函式定義域上的整體性質).
2、奇偶函式的定義是判斷函式奇偶性的主要依據。為了便於判斷函式的奇偶性，有時需要將函式化簡或應用定義的等價形式：
注意如下結論的運用：
(1)不論f(x)是奇函式還是偶函式，f(|x|)總是偶函式;
(2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函式，那麼在D1∩D2上，f(x)+g(x)是奇函式，f(x)·g(x)是偶函式，類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;
(3)奇偶函式的複合函式的奇偶性通常是偶函式;
(4)奇函式的導函式是偶函式，偶函式的導函式是奇函式。
3、有關奇偶性的幾個性質及結論
(1)一個函式為奇函式的充要條件是它的圖象關於原點對稱;一個函式為偶函式的充要條件是它的圖象關於y軸對稱.
(2)如要函式的定義域關於原點對稱且函式值恆為零，那麼它既是奇函式又是偶函式.
(3)若奇函式f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0成立.
(4)若f(x)是具有奇偶性的區間單調函式，則奇(偶)函式在正負對稱區間上的單調性是相同(反)的。
(5)若f(x)的定義域關於原點對稱，則F(x)=f(x)+f(-x)是偶函式，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函式.
(6)奇偶性的推廣
函式y=f(x)對定義域內的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，則y=f(x)的圖象關於直線x=a對稱，即y=f(a+x)為偶函式.函式y=f(x)對定義域內的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，則y=f(x)的圖象關於點(a，0)成中心對稱圖形，即y=f(a+x)為奇函式。
【(五)、函式的單調性】
1、單調函式
對於函式f(x)定義在某區間[a，b]上任意兩點x1，x2，當x1>x2時，都有不等式f(x1)>(或x2)，這說明單調性使得自變數間的不等關係和函式值之間的不等關係可以“正逆互推”.
5、複合函式y=f[g(x)]的單調性
若u=g(x)在區間[a，b]上的單調性，與y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的單調性相同，則複合函式y=f[g(x)]在[a，b]上單調遞增;否則，單調遞減.簡稱“同增、異減”.
在研究函式的單調性時，常需要先將函式化簡，轉化為討論一些熟知函式的單調性。因此，掌握並熟記一次函式、二次函式、指數函式、對數函式的單調性，將大大縮短我們的判斷過程.
6、證明函式的單調性的方法
(1)依定義進行證明.其步驟為：①任取x1、x2∈M且x1(或0，則f(x)為增函式;如果f′(x)0)
沿y軸向平移b個單位
y=f(x±a)(a>0)
沿x軸向平移a個單位
y=-f(x)
作關於x軸的對稱圖形
y=f(|x|)
右不動、左右關於y軸對稱
y=|f(x)|
上不動、下沿x軸翻折
y=f-1(x)
作關於直線y=x的對稱圖形
y=f(ax)(a>0)
橫座標縮短到原來的，縱座標不變
y=af(x)
縱座標伸長到原來的|a|倍，橫座標不變
y=f(-x)
作關於y軸對稱的圖形
【例】定義在實數集上的函式f(x)，對任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.
①求證：f(0)=1;
②求證：y=f(x)是偶函式;
③若存在常數c，使求證對任意x∈R，有f(x+c)=-f(x)成立;試問函式f(x)是不是周期函式，如果是，找出它的一個週期;如果不是，請說明理由.
思路分析：我們把沒有給出解析式的函式稱之為抽象函式，解決這類問題一般採用賦值法.
解答：①令x=y=0，則有2f(0)=2f2(0)，因為f(0)≠0，所以f(0)=1.
②令x=0，則有f(x)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，這說明f(x)為偶函式.
③分別用(c>0)替換x、y，有f(x+c)+f(x)=
所以，所以f(x+c)=-f(x).
兩邊應用中的結論，得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)，
所以f(x)是周期函式，2c就是它的一個週期.
三優範文網