XX高一數學集合知識點總結
一.知識歸納:
1.集合的有關概念。
1)集合(集):某些指定的物件集在一起就成為一個集合(集).其中每一個物件叫元素
注意:①集合與集合的元素是兩個不同的概念,教科書中是通過描述給出的,這與平面幾何中的點與直線的概念類似。
②集合中的元素具有確定性(a?a和a?a,二者必居其一)、互異性(若a?a,b?a,則a≠b)和無序性({a,b}與{b,a}表示同一個集合)。
③集合具有兩方面的意義,即:凡是符合條件的物件都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件
2)集合的表示方法:常用的有列舉法、描述法和圖文法
3)集合的分類:有限集,無限集,空集。
4)常用數集:n,z,q,r,n*
2.子集、交集、並集、補集、空集、全集等概念。
1)子集:若對x∈a都有x∈b,則a b(或a b);
2)真子集:a b且存在x0∈b但x0 a;記為a b(或 ,且 )
3)交集:a∩b={x| x∈a且x∈b}
4)並集:a∪b={x| x∈a或x∈b}
5)補集:cua={x| x a但x∈u}
注意:①? a,若a≠?,則? a ;
②若 , ,則 ;
③若 且 ,則a=b(等集)
3.弄清集合與元素、集合與集合的關係,掌握有關的術語和符號,特別要注意以下的符號:(1) 與 、?的區別;(2) 與 的區別;(3) 與 的區別。
4.有關子集的幾個等價關係
①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;
④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。
5.交、並集運算的性質
①a∩a=a,a∩? = ?,a∩b=b∩a;②a∪a=a,a∪? =a,a∪b=b∪a;
③cu (a∪b)= cua∩cub,cu (a∩b)= cua∪cub;
6.有限子集的個數:設集合a的元素個數是n,則a有2n個子集,2n-1個非空子集,2n-2個非空真子集。
二.例題講解:
【例1】已知集合m={x|x=m+ ,m∈z},n={x|x= ,n∈z},p={x|x= ,p∈z},則m,n,p滿足關係
a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m
分析一:從判斷元素的共性與區別入手。
解答一:對於集合m:{x|x= ,m∈z};對於集合n:{x|x= ,n∈z}
對於集合p:{x|x= ,p∈z},由於3(n-1)+1和3p+1都表示被3除餘1的數,而6m+1表示被6除餘1的數,所以m n=p,故選b。
分析二:簡單列舉集合中的元素。
解答二:m={…, ,…},n={…, , , ,…},p={…, , ,…},這時不要急於判斷三個集合間的關係,應分析各集合中不同的元素。
= ∈n, ∈n,∴m n,又 = m,∴m n,
= p,∴n p 又 ∈n,∴p n,故p=n,所以選b。
點評:由於思路二隻是停留在最初的歸納假設,沒有從理論上解決問題,因此提倡思路一,但思路二易人手。
變式:設集合 , ,則( b )
a.m=n b.m n c.n m d.
解:
當 時,2k+1是奇數,k+2是整數,選b
【例2】定義集合a*b={x|x∈a且x b},若a={1,3,5,7},b={2,3,5},則a*b的子集個數為
a)1 b)2 c)3 d)4
分析:確定集合a*b子集的個數,首先要確定元素的個數,然後再利用公式:集合a={a1,a2,…,an}有子集2n個來求解。
解答:∵a*b={x|x∈a且x b}, ∴a*b={1,7},有兩個元素,故a*b的子集共有22個。選d。
變式1:已知非空集合m {1,2,3,4,5},且若a∈m,則6?a∈m,那麼集合m的個數為
a)5個 b)6個 c)7個 d)8個
變式2:已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.
解:由已知,集合中必須含有元素a,b.
集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
評析 本題集合a的個數實為集合{c,d,e}的真子集的個數,所以共有 個 .
【例3】已知集合a={x|x2+px+q=0},b={x|x2?4x+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求實數p,q,r的值。
解答:∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴b={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a
∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程x2+px+q=0的兩根為-2和1,
∴ ∴
變式:已知集合a={x|x2+bx+c=0},b={x|x2+mx+6=0},且a∩b={2},a∪b=b,求實數b,c,m的值.
解:∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴b={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴
又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合a={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合b滿足:a∪b={x|x>-2},且a∩b={x|1
分析:先化簡集合a,然後由a∪b和a∩b分別確定數軸上哪些元素屬於b,哪些元素不屬於b。
解答:a={x|-21}。由a∩b={x|1-2}可知[-1,1] b,而(-∞,-2)∩b=ф。
綜合以上各式有b={x|-1≤x≤5}
變式1:若a={x|x3+2x2-8x>0},b={x|x2+ax+b≤0},已知a∪b={x|x>-4},a∩b=φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)
點評:在解有關不等式解集一類集合問題,應注意用數形結合的方法,作出數軸來解之。
變式2:設m={x|x2-2x-3=0},n={x|ax-1=0},若m∩n=n,求所有滿足條件的a的集合。
解答:m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m
①當 時,ax-1=0無解,∴a=0 ②
綜①②得:所求集合為{-1,0, }
【例5】已知集合 ,函式y=log2(ax2-2x+2)的定義域為q,若p∩q≠φ,求實數a的取值範圍。
分析:先將原問題轉化為不等式ax2-2x+2>0在 有解,再利用引數分離求解。
解答:(1)若 , 在 內有有解
令 當 時,
所以a>-4,所以a的取值範圍是
變式:若關於x的方程 有實根,求實數a的取值範圍。
解答:
點評:解決含引數問題的題目,一般要進行分類討論,但並不是所有的問題都要討論,怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關鍵。